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Report/Masterthesis.tex

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 	Bei zwei gegebenen Morphismen $g': B \rightarrow D$ und $f: A \rightarrow B$ erzeugen die Morphismen $g: A \rightarrow C$ und $f': C \rightarrow D$ genau dann ein Pushoutcomplement C von f und g', wenn f' und g' der Pushout von f und g ist oder f und g der Pullback von f' und g' ist. 
 	Beispiel:	
 	\paragraph{Double Pushout}
-		\begin{figure} [h]
+	Eine Graphtransformation lässt sich mit dem Double Pushout (DPO) Ansatz realisieren. Der DPO ist dabei eine Kombination aus den Morphismen l, r, l', r', m, m' (Abbildung \ref{dpo}) und einer Transformations Regel $p = (L \stackrel{l}{\leftarrow} K \stackrel{r}{\rightarrow} R)$. Die Regel besteht aus dem Kontext $K$, den zwei Morphismen $l$ und $r$. Bei einer angenommen Transformation von links nach rechts stellt $L$ die Vorbedingung und $R$ die Folgebedingung dar. Die Graphransformation eines Graphen $G$ zu einem Graphen $H$ mit der Regel $p$ und dem Morphismus $m$ wird über den Ausdruck $G \stackrel{p,m}{\implies} H$ dargestellt. Die nötigen Schritte lauten:
+	\begin{itemize}
+		\item Finde einen Morphismus $m: L \rightarrow G$ von der Vorbedingung $L$ zum Startgraphen $G$
+		\item Bestimme aus den Morphismen $m: L \rightarrow G$ und $l: K \rightarrow L$ das Pushout Complement $D$ mit den Morphismen $l': D \rightarrow G$ und $d: K \rightarrow D$
+		\item Bestimme aus den Morphismen $r: K \rightarrow R$ und $d: K \rightarrow D$ en Pushout $H$ mit den Morphismen $r': D \rightarrow H$ und $m': R \rightarrow H$
+	\end{itemize}
+	\begin{figure} [h]
 		\includegraphics[width=\textwidth]{dpo.png}
 		\caption{Ein Beispiel für den Double Pushout. Die Knoten K, L, R, D, G und H stellen Graphen dar. Die Kanten l, r, l', r', m, m' und d stellen Morphismen auf diesen Graphe dar. Die Knoten K und D werden als Kontext bezeichnet \cite{andersenphd}. }
 		\label{dpo}