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Report/Masterthesis.tex

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 %!TeX TXS-program:bibliography = txs:///biber
 
-\documentclass{article}
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 	Bei zwei gegebenen Morphismen $g': B \rightarrow D$ und $f: A \rightarrow B$ erzeugen die Morphismen $g: A \rightarrow C$ und $f': C \rightarrow D$ genau dann ein Pushoutcomplement C von f und g', wenn f' und g' der Pushout von f und g ist oder f und g der Pullback von f' und g' ist. 
 	Beispiel:	
 	\paragraph{Double Pushout}
-	Eine Graphtransformation lässt sich mit dem Double Pushout (DPO) Ansatz realisieren. Der DPO ist dabei eine Kombination aus den Morphismen l, r, l', r', m, m' (Abbildung \ref{dpo}) und einer Transformations Regel $p = (L \stackrel{l}{\leftarrow} K \stackrel{r}{\rightarrow} R)$. Die Regel besteht aus dem Kontext $K$, den zwei Morphismen $l$ und $r$. Bei einer angenommen Transformation von links nach rechts stellt $L$ die Vorbedingung und $R$ die Folgebedingung dar. Die Graphransformation eines Graphen $G$ zu einem Graphen $H$ mit der Regel $p$ und dem Morphismus $m$ wird über den Ausdruck $G \stackrel{p,m}{\implies} H$ dargestellt. Die nötigen Schritte lauten:
+	Eine Graphtransformation lässt sich mit dem Double Pushout (DPO) Ansatz realisieren. Der DPO ist dabei eine Kombination aus den Morphismen l, r, l', r', m, m' (Abbildung \ref{dpo}) und einer Transformations Regel $p = (L \stackrel{l}{\leftarrow} K \stackrel{r}{\rightarrow} R)$. Die Regel besteht aus dem Kontext $K$, den zwei Morphismen $l$ und $r$. Bei einer angenommen Transformation von links nach rechts stellt $L$ die Vorbedingung, $R$ die Folgebedingung, $G$ den Vorzustand und $H$ den Folgezustand dar. Die Graphransformation eines Graphen $G$ zu einem Graphen $H$ mit der Regel $p$ und dem Morphismus $m$ wird über den Ausdruck $G \stackrel{p,m}{\implies} H$ dargestellt. Die nötigen Schritte lauten:
 	\begin{itemize}
 		\item Finde einen Morphismus $m: L \rightarrow G$ von der Vorbedingung $L$ zum Startgraphen $G$
 		\item Bestimme aus den Morphismen $m: L \rightarrow G$ und $l: K \rightarrow L$ das Pushout Complement $D$ mit den Morphismen $l': D \rightarrow G$ und $d: K \rightarrow D$
-		\item Bestimme aus den Morphismen $r: K \rightarrow R$ und $d: K \rightarrow D$ en Pushout $H$ mit den Morphismen $r': D \rightarrow H$ und $m': R \rightarrow H$
+		\item Bestimme aus den Morphismen $r: K \rightarrow R$ und $d: K \rightarrow D$ ein Pushout $H$ mit den Morphismen $r': D \rightarrow H$ und $m': R \rightarrow H$
 	\end{itemize}
 	\begin{figure} [h]
 		\includegraphics[width=\textwidth]{dpo.png}
-		\caption{Ein Beispiel für den Double Pushout. Die Knoten K, L, R, D, G und H stellen Graphen dar. Die Kanten l, r, l', r', m, m' und d stellen Morphismen auf diesen Graphe dar. Die Knoten K und D werden als Kontext bezeichnet \cite{andersenphd}. }
+		\caption{Ein Beispiel für den Double Pushout. Die Knoten K, L, R, D, G und H stellen Graphen dar. Die Kanten l, r, l', r', m, m' und d stellen Morphismen auf diesen Graphen dar. Bei einer Transformation von $L$ zu $R$ stellt $L$ die Vorbedingung, $R$ die Folgebedingung, $G$ den Vorzustand und $H$ den Folgezustand dar. Die Knoten K und D werden als Kontext bezeichnet \cite{andersenphd}. }
 		\label{dpo}
 	\end{figure}
-
+	Die rechte Seite $R$ und die linke Seite $L$ sind dabei austauschbar. Wenn die Graphentransformation $G \stackrel{p,m}{\implies} H$ in eine Richtung abzubilden ist, existiert auch ein inverse Graphtransformation $H \stackrel{p^{-1},m'}{\implies} G$, welche die inverse Regel $p^{-1} = (R \stackrel{r}{\leftarrow} K \stackrel{l}{\rightarrow} L)$ verwendet. Die Existenz des Morphismus $m'$ ist schon für die Ursprüngliche Graphtransformation gegeben. Im chemischen Kontext lassen sich die meisten Reaktionen als Gleichgewichtsreaktionen definieren, bei welchen sowohl Hin- als auch Rückreaktion simultan stattfinden \cite{equilibrium}.
+	Für einen gegebenen Morphismus $m: L \rightarrow G$ kann also $D$ bestimmt werden, wenn:
+	\begin{itemize}
+		\item es keine Kanten in $E_{G}	\setminus m(E_{L})$ die an einen Knoten in $m(V_{L} \setminus l(V_{K}))$ gebunden sind bzw. es keine Kanten in $E_{H}	\setminus m(E_{R})$ die an einen Knoten in $m(V_{R} \setminus r(V_{K}))$ gebunden sind. Also gilt für alle Knoten die nicht in einer der beiden Regelseiten, aber nicht im Kontext sind, also nach der Transformation nicht mehr vorhanden sind, nicht mit Kanten verbunden sein können, die Teil der Vorbedingung waren. Wenn $p$ also einen Knoten entfernt, müssen auch von ihm ausgehenden Kanten entfernt werden.
+		\item es gibt keine distinkten Knoten $u,v \in V_{L}$ mit $m(u) = m(v)$ wenn $u \in l(V_{k}), v \notin l(V_{k})$ und es gibt keine distinkten Kanten $e,f \in E_{L}$ mit $m(e) = m(f)$ wenn $e \in l(E_{k}), f \notin l(E_{k})$. Wenn also eine Kante oder ein Knoten in der Vorbedingung ist, aber durch die Transformation entfernt wird, so können sich nicht durch den Morphismus $m$ dem gleichen Knoten zugeordnet werden.
+	\end{itemize}   
+	Im folgenden beschränken wir die Morphismen $l$ und $r$ zu Monomorphismen, da so nur eine Möglichkeit für $D$ besteht. Dafür würde es reichen, dass einer der Beiden Morphismen ein Monomorphismus ist. Die Beschränkung beider Morphismen ist nötig, damit Invertierbarkeit gewahrt wird. Ebenso beschränken wir die Morphismen $m$ und $m'$ Monomorphismen zu sein, damit keine Knoten fusioniert werden können \cite{andersenphd}.
+	
 	
 	\subsubsection{Gerichteter Multi Hypergraph}
 	Ein gerichteter Multi Hypergraph $\mathcal{H} = (V,E)$ ist ein Tupel. Dabei ist $V$ eine Menge von Knoten und $E$ eine Menge von gerichteten Hyperkanten. Eine Hyperkante $e \in E$ ist selber ein Tupel $ e = (U, W)$ aus einer Multimenge von Startknoten (tail) $U$ und einer Multimenge von Zielknoten (head) $W$. Beide Multimengen enthalten ausschließlich Knoten und sind daher Teilmengen der Menge von Knoten $U,W \subseteq V$ \cite{andersenhyperflow}.
 	\subsubsection{Zyklen}  
-
-
+	
+	
 	
 	\subsection{NMR-Spektroskopie}
 	\subsubsection{Spektren}
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 		\begin{center}
 			\begin{tabular}{ |c|c|c| } 
 				\label{tablepeakheight}
-				Anzahl chemisch Äquivalenter Wasserstoffe N & Multiplett Name & relative Peakhöhe \\ 
+				Anzahl chemisch Äquivalenter \\ Wasserstoffe N & Multiplett Name & relative Peakhöhe \\ 
 				\hline
 				0 & Singulett (s) & 1 \\ 
 				1 & Dublett (d) & 1 : 1 \\ 
@@ -184,6 +192,8 @@
 			\end{tabular}
 		\end{center}
 	\end{table}
+	\subsubsection{Spektrum Analyse}
+	Wir betrachten nun ein Spektrum von ... um die
 	\subsubsection{Schreibweise}
 	In einem Wissenschaftlichen Kontext wird nicht immer das gesamte Spektrum als Bild angegeben. Um trotzdem eine Angabe zu machen, die das Spektrum ausreichend Beschreibt, muss ein aussagekräftiger String verwendet werden. Für Chlorethan, wäre dass zum Beispiel $^{1}$H-NMR (300 MHz): $\delta$ 1.488 (-CH$_{3}$, 3, t, $^{3}J = 7.232$), 1.488 (-CH$_{2}$-, 2, q, $^{3}J = 7.232$). Für jeden Kern wird dabei, in der Reihenfolge, die Verschiebung in ppm, eine kurze Zuordnung zum Kern, die Intensität, die Multiplettaufspaltung und die Stärke der Aufspaltung genannt. Für die Stärke der Aufspaltung wird zudem angegeben, über wie viele Bindungen diese Interaktion stattfindet. Für das ganze Spektrum wird auch angegeben, mit welcher Frequenz oder Feldstärke das Spektrometer eingestellt wurde.
 	\subsubsection{Kohlenstoff NMR}

Report/refs.bib

@@ -25,45 +25,6 @@
 	isbn={978-0486446035},
 	note={ISBN-10: 0-486-44603-4}
 }
-
-@article{Test,
-	author = {authorTest},
-	title = {titleTest},
-	journaltitle = {journaltitleTest},
-	date = {11.07.2001},
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-}
 @book{
 	Graphtheory,
 	title = {Graphentheorie : eine anwendungsorientierte Einführung},
@@ -110,4 +71,10 @@
 	note         = {Available at \url{    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:15-qucosa-202723}},
 	school       = {Universität Leipzig},
 	type         = {PhD thesis}
+}
+@book{equilibrium,
+	title={Principles of organic synthesis},
+	author={Norman, Richard OC},
+	year={2017},
+	publisher={Routledge}
 }