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Report/Masterthesis.tex

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 	\section{Einleitung}
 	
 	\section{Theoretische Grundlagen}
-		\subsection{Graphen Theorie}
-		Die Graphen Theorie befasst sich mit dem Abbilden von Netzwerken und Entitätenbeziehungen. Dabei werden die Netzwerkteilnehmer und Entitäten als Menge von Knoten ($V$) und ihre Verbindungen oder Beziehungen als Menge von Kanten ($E$) abstrahiert. Ein Knoten $v$ ist dabei ein Element der Menge $V$ und eine Kante ein Element der Teilmenge $E \subseteq P_{2}(V)$ Das Tupel $(u,v)$ aus zwei Knoten u und v, mit $u,v \in V$ ist ein Element der Menge $(u,v) \in E$. Ein einfacher Graph ($G$) besteht aus einer Menge von Knoten und Kanten $G = (V, E)$ \cite{bender2006foundations}. Bei einem gerichteten Graph gilt dabei, dass die Kante von Knoten u zu Knoten v gerichtet verläuft. Es gilt $(u,v) \neq (v,u)$, weshalb beide in der Menge von Kanten vorkommen können. In einem ungerichteten Graphen gilt, dass die beiden Tupel dieselbe Kante beschreiben. Es gilt also $(u,v) = (v,u)$. Ein Multigraph ist darüber definiert, dass anders als in einem einfachen Graphen, eine identische Kante mehrmals enthalten ist. Die Kanten sind also keine Menge. Die beiden Kannten haben dann die selbe Repräsentation $(u,v)\stackrel{r}{=}(u,v)$, aber sind nicht die gleiche Kante $(u,v) \neq (u,v)$. Es besteht auch die Möglichkeit, dass eine Kante von einem Knoten zu sich selber führt, also $(v,v)$, was als Schleife bezeichnet wird. Sowohl gerichtete, als auch ungerichtete Graphen können gelabelt sein. Sie werden dann als gelabelter Graph bezeichnet. Dabei lässt sich zwischen Kanten und Knotenlabeln unterscheiden. Für beide Labeltypen gilt jedoch:
-		\begin{equation} \label{isomorph}
-			\forall e,f \in E: label(e) = label(f) \implies e = f               
-		\end{equation}
-		Die Label sind also einzigartig.
-		\subsubsection{Das chemische Molekül als nicht einzigartig gelabelter Graph}
-		Ein chemisches Molekül bestehend aus kovalenten Bindungen kann dabei als ein ungerichteter Graph betrachtet werden. Dabei können die Kanten nach den Bindungstypen: einfach, doppelt, dreifach, vierfach und aromatisch gelabelt werden. Die Knoten können nach dem Elementtyp und mit der Elementarladung (-7 bis +7) gelabelt werden. Im Gegensatz zu einem gelabelten Graphen sind diese Label aber nicht einzigartig. Es ist möglich das Kantenlabel Beispielsweise einer Doppelbindung durch zwei Einfachbindungen zwischen den selben Knoten zu ersetzten. Diese Darstellung kann aber keine aromatischen Bindungen repräsentieren. Etwaige sterische Informationen sind dabei mit einem Graphen nicht darstellbar.
-		\subsubsection{Morphismen}
-		
-			\subsubsection{Automorphismen}
-			\subsubsection{Graphtransformation}
-			\subsubsection{NMR}
-			
+	\subsection{Graphen Theorie}
+	Die Graphen Theorie befasst sich mit dem Abbilden von Netzwerken und Entitätenbeziehungen. Dabei werden die Netzwerkteilnehmer und Entitäten als Menge von Knoten ($V$) und ihre Verbindungen oder Beziehungen als Menge von Kanten ($E$) abstrahiert. Ein Knoten $v$ ist dabei ein Element der Menge $V$ und eine Kante ein Element der Teilmenge $E \subseteq P_{2}(V)$ Das Tupel $(u,v)$ aus zwei Knoten u und v, mit $u,v \in V$ ist ein Element der Menge $(u,v) \in E$. Ein einfacher Graph ($G$) besteht aus einer Menge von Knoten und Kanten $G = (V, E)$ \cite{bender2006foundations}. Bei einem gerichteten Graph gilt dabei, dass die Kante von Knoten u zu Knoten v gerichtet verläuft. Es gilt $(u,v) \neq (v,u)$, weshalb beide in der Menge von Kanten vorkommen können. In einem ungerichteten Graphen gilt, dass die beiden Tupel dieselbe Kante beschreiben. Es gilt also $(u,v) = (v,u)$. Ein Multigraph ist darüber definiert, dass anders als in einem einfachen Graphen, eine identische Kante mehrmals enthalten ist. Die Kanten sind also keine Menge. Die beiden Kannten haben dann die selbe Repräsentation $(u,v)\stackrel{r}{=}(u,v)$, aber sind nicht die gleiche Kante $(u,v) \neq (u,v)$. Es besteht auch die Möglichkeit, dass eine Kante von einem Knoten zu sich selber führt, also $(v,v)$, was als Schleife bezeichnet wird. Sowohl gerichtete, als auch ungerichtete Graphen können gelabelt sein. Sie werden dann als gelabelter Graph bezeichnet. Dabei lässt sich zwischen Kanten und Knotenlabeln unterscheiden. Für Kantenlabel (\ref{edgelabel}) und Knotenlabel (\ref{verticelabel}) gilt, das Label muss einzigartig sein.
+	\begin{equation} \label{edgelabel}
+		\forall e,f \in E: label(e) = label(f) \implies e = f 
+	\end{equation}
+	\begin{equation} \label{verticelabel}
+		\forall u,v \in V: label(u) = label(v) \implies u = v  
+	\end{equation}
+	
+	\subsubsection{Das chemische Molekül als nicht einzigartig gelabelter Graph}
+	Ein chemisches Molekül bestehend aus kovalenten Bindungen kann dabei als ein ungerichteter Graph betrachtet werden. Dabei können die Kanten nach den Bindungstypen: einfach, doppelt, dreifach, vierfach und aromatisch gelabelt werden. Die Knoten können nach dem Elementtyp und mit der Elementarladung (-7 bis +7) gelabelt werden. Im Gegensatz zu einem gelabelten Graphen sind diese Label aber nicht einzigartig. Es ist möglich das Kantenlabel Beispielsweise einer Doppelbindung durch zwei Einfachbindungen zwischen den selben Knoten zu ersetzten. Diese Darstellung kann aber keine aromatischen Bindungen repräsentieren. Etwaige sterische Informationen sind dabei mit einem Graphen nicht darstellbar.
+	\subsubsection{Morphismen}
+	
+	\subsubsection{Graphtransformation}
+	\subsubsection{Gerichteter Multi Hypergraph}
+	Ein gerichteter Multi Hypergraph $\mathcal{H} = (V,E)$ ist ein Tupel. Dabei ist $V$ eine Menge von Knoten und $E$ eine Menge von gerichteten Hyperkanten. Eine Hyperkante $e \in E$ ist selber ein Tupel $ e = (U, W)$ aus der Multimenge von Startknoten (tail) $U$ und einer Multimenge von Zielknoten (head) $W$. Beide Multimengen enthalten ausschließlich Knoten und sind daher Teilmengen der Menge von Knoten $U,W \subseteq V$ \cite{andersenhyperflow}.  
+	\subsubsection{Zyklen}
+	\subsection{NMR}
+	
 	\section{Methoden}
-		\subsection{M\o{}d}
-		\subsection{ORCA}
-		\cite{ORCA}
+	\subsection{M\o{}d}
+	\subsection{ORCA}
+	\cite{ORCA}
 	\section{Ergebnisse}
-		\subsubsection{M\o{}d}
+	\subsubsection{M\o{}d}
 	
 	
 	

Report/refs.bib

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 	author = "Nobody Jr",
 	title = "My Article",
 	year = "2006" } 
-	
+
 @book{bender2006foundations,
 	title={Foundations of Combinatorics with Applications},
 	author={Bender, Edward A. and Williamson, S. Gill},
@@ -76,4 +76,21 @@
 	url = {https://doi.org/10.3139/9783446465039},
 	url = {https://www.hanser-elibrary.com/doi/book/10.3139/9783446465039},
 }
-
+@article{andersenhyperflow,
+	author = {Andersen, Jakob L. and Flamm, Christoph and Merkle, Daniel and Stadler, Peter F.},
+	title = {Chemical Transformation Motifs—Modelling Pathways as Integer Hyperflows},
+	year = {2019},
+	issue_date = {March-April 2019},
+	publisher = {IEEE Computer Society Press},
+	address = {Washington, DC, USA},
+	volume = {16},
+	number = {2},
+	issn = {1545-5963},
+	url = {https://doi.org/10.1109/TCBB.2017.2781724},
+	doi = {10.1109/tcbb.2017.2781724},
+	abstract = {We present an elaborate framework for formally modelling pathways in chemical reaction networks on a mechanistic level. Networks are modelled mathematically as directed multi-hypergraphs, with vertices corresponding to molecules and hyperedges to reactions. Pathways are modelled as integer hyperflows and we expand the network model by detailed routing constraints. In contrast to the more traditional approaches like Flux Balance Analysis or Elementary Mode analysis we insist on integer-valued flows. While this choice makes it necessary to solve possibly hard integer linear programs, it has the advantage that more detailed mechanistic questions can be formulated. It is thus possible to query networks for general transformation motifs, and to automatically enumerate optimal and near-optimal pathways. Similarities and differences between our work and traditional approaches in metabolic network analysis are discussed in detail. To demonstrate the applicability of the mathematical framework to real-life problems we first explore the design space of possible non-oxidative glycolysis pathways and show that recent manually designed pathways can be further optimized. We then use a model of sugar chemistry to investigate pathways in the autocatalytic formose process. A graph transformation-based approach is used to automatically generate the reaction networks of interest.},
+	journal = {IEEE/ACM Trans. Comput. Biol. Bioinformatics},
+	month = apr,
+	pages = {510–523},
+	numpages = {14}
+}